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This section includes InterviewSolutions, each offering curated multiple-choice questions to sharpen your knowledge and support exam preparation. Choose a topic below to get started.

701.

अवकल समीकरण `ydx=(y^(3)-x)dy` का हल है-A. `xy=y^(2)+c`B. `xy=y^(3)+c`C. `xy=(y^(3))/(3)+c`D. `xy=(y^(4))/(4)+c`

Answer» Correct Answer - D
Discussion
702.

अवकल समीकरण `x(dy)/(dx)-y=2x^(2)`का समाकलन गुणक है:A. `e^(-x)`B. `e^(-y)`C. `(1)/(x)`D. `x`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
703.

अवकल समीकरण `x(dy)/(dx)+y=x^(3)y^(6)` का हल है-A. `x^(5)y^(-5)=(5)/(2)x^(2)+c`B. `x^(-5)y^(5)=5x^(-2)+c`C. `x^(5)y^(-5)=(5)/(2)x^(-2)+c`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - C
Discussion
704.

एक वक्र, बिन्दु `(1,(pi)/(4))` से होकर जाता है तथा बिन्दु (x, y) पर इसकी स्पर्श की प्रवणता `(y)/(x)-cos^(2).(y)/(x)` है। वक्र का समीकरण है-A. `y=x tan^(-1)log.(e)/(x)`B. `y=tan^(-1)log.(e)/(x)`C. `y=x tan^(-1)log.(x)/(e)`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
705.

अवकल समीकरण `(dy)/(dx)=e^(x+y)` का व्यापक हल है :A. `e^(x)+e^(-y)=C `B. `e^(x)+e^(y)=C `C. `e^(-x)+e^(y)=C `D. `e^(-x)+e^(-y)=C `

Answer» Correct Answer - A
Discussion
706.

चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:

Answer» Correct Answer - D
हम जानते है कि दिए गए अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित अचरों की संख्या, दिए गए अवकल समीकरण की कोटि के बराबर होती है।
अतः दिए चार कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में अचरों की संख्या 4 होगी।
Discussion
707.

अवकल समीकरण `(ydx-xdy)/(y)=0` का व्यापक हल हैं:A. xy=CB. `x=Cy^(2)`C. `y=Cx`D. `y=Cx^(2)`

Answer» Correct Answer - C
Discussion
708.

अवकल समीकरण `(x^(3)-3xy^(2))dx=(y^(3)-3x^(2)y)dy` का हल है-A. `x^(2)-y^(2)=(x^(2)+y^(2))c`B. `x^(2)+y^(2)=(x^(2)-y^(2))^(2)c`C. `x^(2)-y^(2)=(x^(2)+y^(2))^(2)c`D. इनमे से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - B
Discussion
709.

तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है :A. 3B. 2C. 1D. 0

Answer» Correct Answer - D
किसी दिए गए अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या शून्य होती है क्योकि अवकल समीकरण के व्यापक हल में, हम कुछ विशिष्ट मानो को रखकर सभी अचरों को समाप्त कर देते है।
Discussion
710.

चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है -A. 4B. 2C. 1D. इनमें से कोई नहीं

Answer» Correct Answer - A
Discussion
711.

अवकल समीकरण `2x^2(d^2y)/(dx^2)-3(dy)/(dx)+y=0` की कोटि एवं घात है -A. 1,1B. 2,1C. 1,2D. 2,2

Answer» Correct Answer - B
Discussion
712.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `cos ((dy)/(dx))=a,a inR,y =2` जब `x =0 `

Answer» Correct Answer - `a =cos ((y-2)/(x))`
Discussion
713.

`x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1` , y=0 यदि x=2

Answer» `x(x^(2)-1)(dy)/(dx)=1`
`implies dy=(1)/(x(x-1)(x+1))dx`
`impliesint dy=int{-(1)/(x)+(1)/(2(x+1))+(1)/(2(x-1))}dx+c`
`implies y=-log x+(1)/(2)log(x+1)+(1)/(2)log(x-1)+c" ....(1)"`
अब, x = 2 पर y = 0
`therefore 0=-log2+(1)/(2)log3+0+c`
`implies c=(1)/(2)log.(4)/(3)`
`therefore` समीकरण (1) से,
`y=-logx+(1)/(2)log(x+1)+(1)/(2)log(x-1)+(1)/(2)log.(4)/(3)`
जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है।
Discussion
714.

अवकल समीकरणों में प्रत्येक की कोटि एव घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए . रैखिक व अरैखिक में वर्गीकरण कीजिए `y+(dy)/(dx)=1/4 intydx.`

Answer» यहाँ `y+(dy)/(dx) =1/4 intydx`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर ,
`(dy)/(dx)+(d^(2)y)/(dx^(2))=1/4 y`
`implies(d^(2)y)/(dx^(2))+(dy)/(dx) -y/4 =0`
स्पष्टत: रैखिक अवकल समीकरण की कोटि 2 और घात 1 है .
Discussion
715.

अवकल समीकरणों में प्रत्येक की कोटि एव घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए . रैखिक व अरैखिक में वर्गीकरण कीजिए `y=(dy)/(dx)+(k)/((dy//dx)).`

Answer» यहाँ `y=(dy)/(dx)+(k)/(((dy)/(dx)))`
`impliesy((dy)/(dx))=((dy)/(dx))+k`
`implies((dy)/(dx))-y(dy)/(dx)+k=0`
स्पष्टत: अरेखित अवकल समीकरण की कोटि 1 और घात 2 है .
Discussion
716.

अवकल समीकरणों में प्रत्येक की कोटि एव घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए . रैखिक व अरैखिक में वर्गीकरण कीजिए `y=px+sqrt(a^(2)p^(2)+b^(2))`, जहाँ `p=(dy)/(dx)`

Answer» यहाँ `y=px +sqrt(a^(2) p^(2)+b^(2))`
`impliesy-px=sqrt(a^(2)p^(2)+b^(2))`
`implies(y-px)^(2) =a^(2) p^(2)+b^(2)`
`impliesy^(2) +x^(2) p^(2) -2xyp =a^(2) p^(2)+ b^(2)`
`implies(x^(2)-a^(2))((dy)/(dx))^(2)-2xy((dy)/(dx))+(y^(2)-b^(2))=0`
स्पष्टत: रैखिक अवकल समीकरण की कोटि 1 और घात 2 है .
Discussion
717.

निम्नलिखित अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात ज्ञात करें| यह भी बताएँ की ये रैखिक अवकल समीकरण है या अरैखिक| `y=x(dy)/(dx) + a sqrt(1+((dy)/(dx))^(3))`

Answer» कोटि =1 , घात = 3 ,अरैखिक
Discussion
718.

निम्नलिखित अवकल समीकरणों की कोटि तथा घात ज्ञात करें| यह भी बताएँ की ये रैखिक अवकल समीकरण है या अरैखिक| `[1+((dy)/(dx))^(2)]^(3//2)=(d^(2)y)/(dx^(2))`

Answer» कोटि =2 , घात =2 , अरैखिक
Discussion
719.

अवकल समीकरण `(dy)/(dx) =(x+1)/(2-y),(y ne2)` का व्यापक हल ज्ञात कीजिए .

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(dy)/(dx) =(x-1)/(2-y)`
`implies(2-y) dy= (x+1)dx,` (चरो को पृथक करने पर)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
`int (2-y)dt= int(x+1) dx`
`implies2y -(y^(2))/(2) =(x^(2))/(2) +x+C`
`implies2y-(y^(2))/(2) -(x^(2))/(2)-x=C`
` impliesx^(2)+y^(2) +2x-4y =-2C`
`implies x^(2)+ y^(2)+ 2x-4y =C_(1)` जहाँ `C_(1) =-2C`
Discussion
720.

हल कीजिए- `(x-y) (dx+dy)=dx-dy,y(0)=-1.`

Answer» यहाँ `(x-y)(dx+dy)=dx -dy`
`implies dx+dy=(dx-dy)/(x-y)`
`implies d(x+y)(d(x-y))/(x-y)" "...(1)`
समी (1 ) में `x +y =u ` और `x -y =v ,` रखने पर,
`du=(dv)/(v)`
समाकलन करने पर,
`int du =int (dv)/(v)`
`implies u+C =log |v|`
`implieslog |x-y|=x+y+C" "...(2)`
दिया है `y =- 1 ` जब `x =0 `
समी (2 ) में, `x =0 ` और `y =- 1 ` रखने पर,
`log 1=0 -1+CimpliesC=1," "[becauselog 1=0]`
समी (2) में, `C =1 ` रखने पर, `log|x-y| =x+y+1`
`implies x-y=e^(x+y+1)`
Discussion
721.

हल कीजिए - ` ( x ^ 2 - y ^ 2 ) dx + 2 xy dy = 0 , y = 1 ` जब ` x = 1 `

Answer» दिया गया अवतल समीकरण है -
` (x ^ 2 - y ^ 2 ) dx + 2 xy dy = 0 `
` rArr 2xy dy = - ( x ^ 2 - y^ 2 ) dx `
` rArr (dy ) / (dx ) = ( y^ 2 - x ^ 2 ) / ( 2xy ) " " `...(1)
यह एक समघात अवतल समीकरण है |
माना ` y = vx , ` तब ` (dy )/ (dx ) = v + x ( dv ) / ( dx ) " " ` ... (2)
समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x (dv ) / (dx ) = ( v ^ 2 x ^ 2 - x ^ 2 ) /( 2vx ^ 2 ) `
` rArr v + x ( dv ) / (dx ) = ( v ^ 2 - 1 ) / (2v ) `
` rArr x ( dv ) / ( dx ) = ( v^ 2 - 1 ) / ( 2v ) - v `
` rArr x (dv ) / (dx ) = ( v ^ 2 - 1 - 2v ^ 2 )/ (2v ) `
` rArr x (dv ) / (dx ) = - ( v ^ 2 + 1 ) /( 2v ) `
` rArr (2v) / ( 1 + v ^ 2 ) dv = - (dx ) / ( x ) `
समाकलन करने पर,
` int (dt )/ (t ) = - int (dx ) / (x ) `
` rArr log |t| = - log | x| + C `
` rArr log | 1 + v ^ 2 | + log |x| =C `
` rArr log | 1 + (y ^ 2 ) / ( x ^ 2 ) | + log |x| = C" " `...(3)
` " " [ because y = vx rArr v = ( y ) / ( x ) ] `
दिए गए प्रतिबंध के अनुसार समी. (3 ) में : x = 1 और y = 1 रखने पर,
` log 2 + log 1 = C rArr C = log 2 `
समी. (3 ) में, ` C = log 2 ` रखने पर
` log | ( y^ 2 + x ^ 2 ) /( x ^ 2 ) | + log |x| = log 2 `
` rArr log | (( y ^ 2 + x ^ 2 )/ ( x ^ 2 )) x | = log 2 `
` rArr log | ( x ^ 2 + y ^ 2 ) /( x ) = log 2 `
` rArr ( x ^ 2 + y ^ 2 ) /( x ) = 2 `
` rArr x ^ 2 + y^ 2 = 2x `.
Discussion
722.

अवकल समीकरण `(x-y) dy-(x+y)dx=0` को हल कीजिए .

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(x-y) dy- (dx+y) dx=0`
`implies(x-y)dy= (x+y)dx`
`implies(dy)/(dx) =(x+y)/(x-y)" "...(1)`
चूँकि प्रत्येक फलन `x +y ` और `x -y ` घाट 1 में समघाट फलन है इसलिए दिया गया अवकलन समीकरण समघात है .
माना `y=vximplies" "..(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)" "...(3)`
समी (1),(2) और (3) से,
`v+x(dv)/(dx)=(x+vx)/(x-vx)`
`impliesv+x(dy)/(dx)=(1+v)/(1-v)`
`impliesx(dy)/(dx) =(1+v)/(1-v)-v`
`impliesx (dv)/(dx)=(1+ v-v +v^(2))/(1-v)`
`impliesx(dv)/(dx)=(1+v^(2))/(1-v)`
`implies(1-v)/(1+v^(2))dv=(dx)/(x),` (चरो को पृथक्करण से)
समाकलन करने पर,
`int (1-v)/(1+v^(2))dv-int(v)/(1+v^(2))dv=int(dv)/(dx)`
`impliestan ^(-1)v-1/2int (dt)/(t)=log |x|+C,`
`["माना" 1+v^(2)=timpliesvdv=1/2dt]`
`impliestan ^(-1) v-1/2 log |t|=log |x|+C`
`impliestan ^(-1)v-1/2 log |1+v^(2)| =log |x|+C` `impliestan ^(-1) ((y)/(x))-1/2log |1+(y^(2))/(x^(2))|=log |x|+C,`
`[because y=vx implies v = (y)/(x)]`
`impliestan ^(-1)((y)/(x))-1/2 log |(x^(2)+y^(2))/(x^(2))|=log |x|+C`
`implies tan ^(-1)((y)/(x))-1/2 log (x^(2)+y^(2))+1/2log x^(2)-log |x|=C`
`impliestan ^(-1)((y)/(x))-1/2log (x^(2)+y^(2))+log x-log x=C`
`impliestan ^(-1) ((y)/(x))-1/2 log (x^(2)+y^(2))=C.`
Discussion
723.

दर्शाइये कि `y=Ax+B/x` अवकल समीकरण `x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))+x(dy)/(dx)y=0` का एक हल |

Answer» यहाँ `y=Ax+B/x" "...(1)`
समी (1 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dy)/(dx) =A (B)/(x^(2))" "...(2)`
समी (2 ) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(d^(2)y)/(dx^(2))=(2B)/(x^(3))" "...(3)`
अब उपरोक्त मानो को अवकल समीकरण के बाये पक्ष में रखने पर,
`x^(2)(d^(2)y)/(dx^(2))+x(dy)/(dx)-y=x^(2)((2B)/(x^(3))) x+(A-(B)/(x^(2)))-(Ax+(B)/(x))`
`=(2B)/(x)+Ax- (B)/(x) -Ax -(B)/(x)=0=R.H.S.`
अतः `y=Ax+(B)/(x)` अवकल समीकरण का एक हल |
Discussion
724.

अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए- `(x-y)(dy)/(dx)=x+2y.`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(x-y)(dy)/(dx)=x+2y`
`implies(dy)/(dx)=(x+2y)/(x-y)" "...(1)`
चूँकि प्रत्येक कथन `x +2 y ` और `x -y ` घात 1 में समघात है इसलिए यह एक समघात अवकल समीकरण है.
चूँकि प्रत्येक कथन `x +2 y ` और `x -y ` घात 1 में समघात है इसलिए यह एक समघात अवकल समीकरण है .
माना `y=vx,` तब `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)" "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) से,
`v+x (dv)/(dx)=(x+2vx)/(x-vx)`
`impliesv+x(dv)/(dx)+(1+2v)/(1-v)`
`impliesx(dv)/(dx)=(1+2v)/(1-v)-v`
`impliesx (dv)/(dx)=(1+2v-v +v^(2))/(1-v)`
`impliesx(dv)/(dx)=(1+v+v^(2))/(1-v)`
`implies(1-v)/(1+v+v^(2))dv=(dx)/(x),`
समाकलन करने पर,
`int (1-v)/(1+v+v^(2))dv=int(dx)/(x)`
`impliesI=log |x| +C" "...(3)`
जहाँ `I =int (1-v)/(1+v+v^(2))dv`
अब माना `1-v =A (d)/(dv)(1+v+v^(2))+B`
`implies1-v=A(1+2v)+B`
`implies1-v= (A+B) +2Av`
दोनों पक्षों कि तुलना करने पर,
`A+B=1` और `2A =-1 impliesA =-1/2`
`therefore -1/2 +B=1 impliesB=3/2`
अतः `1-v =-1/2 (2v+1)+3/2`
तब `I =int(-1/2(2c+1)+3/2)/(v^(2)+v+1)`
`impliesI =-1/2int (2v+1)/(v^(2)+v+1)dv+3/2int (dv)/(v^(2)+v+1)`
`impliesI =-1/2 log |v^(2)+v+1|+3/2int (dv)/((v^(2)+v+1/4)-1/4+1)`
`[{:(" माना" v^(2)+v+1=timplies(2v+1)dv=dt),(therefore int (2v+1)/(v^(2)v+1)dv=int(dt)/(t)=log |t|):}]`
`impliesI=-1/2 log |v^(2)+v+1|+3/2int(dv)/((v+1/2)^(2)+3/4)`
`impliesI=-1/2 log |v^(2)+v+1|+3/2int(dv)/((v+(1)/(2))^(2)+((sqrt3)/(2))^(2))`
`impliesI =-1/2 log |v^(2)+v+1|`
`+3/2 xx(1)/(((sqrt3)/(2)))tan^(-1) ((v+(1)/(2))/((sqrt3)/(2)))+C,`
`[becauseint (1)/(x^(2)+a^(2))=1/atan ^(-1)""(x)/(a)]`

`impliesI =-1/2log |v^(2)+v+1|+sqrt3tan ^(-1)((2v+1)/(sqrt3))+C`
`impliesI=-1/2 log |(y^(2))/(x^(2))(y)/(x)+1|`
`+sqrt3tan ^(-1)(((2y)/(x)+1)/(sqrt3))+C,`
`impliesI =-1/2 log |(y^(2)+xy +x^(2))/(x^(2))|`
`+sqrt3 tan ^(-1) ((2y +x)/(sqrt3x))+C`
समी (3 ) में I का मान रखने पर,
`-1/2 log |(y^(2)+xy+x^(2))/(x^(2))|+sqrt3tan^(-1) ((2y+x)/(sqrt3x))=log |x|+C.`
Discussion
725.

दर्शाइये किअवकल समीकरण `(dy)/(dx)=(y^(2))/(xy-x^(2))` समघात है तथा इनका हल ज्ञात कजिए.

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(dy)/(dx) (y^(2))/(xy-x^(2))" "...(1)`
माना `F(x,y) =(y^(2))/(xy-x^(2))`
उपरोक्त फलन में x और y को क्रमशः `lamda x ` और `lamda y ` में प्रतिस्थापित करने पर,
`F(lamda , lamday) =((lamday)^(2))/((lamdax) (lamday) -(lamdax)^(2))`
`implies F (lamda x, lamday)(lamda^(2)y^(2))/(lamda^(2) xy- lamda^(2) x^(2))`
`impliesF (lamdax, lamday) =(lamda^(2) y^(2))/(lamda ^(2) (xy-x^(2)))=lamda^(0) (y^(2))/((xy - x^(2)))`
`implies F (lamda x, lamday) =lamda^(0) F(x,y),`
अतः फलन `f (x ,y )` शून्य घात में समघातीय फलन है इसलिए दिया गया अवकल समीकरण समाघात है.
माना `y=vx,` तब `(dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)" "...(2)`
समी (1 ) और (2 ) से,
`v+x (dv)/(dx)=(v^(2)x^(2))/(vx^(2)-x^(2))`
`impliesv+x(dv)/(dx) =(v^(2))/(v-1)`
`impliesx(dv)/(dx) =(v^(2))/(v-1)-v`
`impliesx (dv)/(dx)=(v^(2)-v^(2)+v)/(v-1)`
`impliesx(dv)/(dx)=(v)/(v-1)`
`implies(v-1)/(v)dv =(v)/(v-1)`
`(v-1)/(v)dv= (dx)/(x).` (चरो को पृथक्करण से)
समाकलन करने पर,
`int (v-1)/(v)dv =int (dx)/(x)`
`impliesint(1-(1)/(v))dv=int(dx)/(x)`
`impliesint1dv-int(1)/(v) dv=int (dx)/(x)`
`implies v-log |v|=log |x|+C`
`impliesy/x -log |(y)/(x)| =log |x| +C,`
`[because y= vx impliesv =(y)/(x)]` `impliesy/x-log |y|+log |x|=log |x|+C`
`impliesy/x-log |y|=C.`
Discussion
726.

हल कीजिए- `sin ^(-1)((dy)/(dx))=x+y.`

Answer» यहाँ `sin ^(-1) ((dy)/(dx))=x+y`
`implies (dy)/(dx) =sin (x+y)" "...(1)`
माना `x+y=v" "...(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1+(dy)/(dx)=(dv)/(dx) `
`implies (dy)/(dx) =(dv)/(dx)-1" "...(3)`
समी (1),(2) और (3)
`(dv)/(dx) =1+sin v`
`implies (dv)/(dx) =1+sin v`
`implies(dv)/(1+sin v)=dx`
समाकलन करने पर,
`int(dv)/(1+sinv) =int dx`
`=int ((1)/(1+sin v)xx (1-sin v)/(1-sin v))dv =x+C`
`implies int (1- sin v)/(1-sin^(2)v)dv=x+C`
`implies int (1- sin v)/(cos^(2)v)dv=x+C`
`impliesint((1)/(cos ^(2)v)-(sin v)/(cos ^(2)v))dv=x+c`
`impliesintsec^(2) vdv-int tan v sec vdv=x+C.`
`impliestan v- sec v=x+C`
`implies tan (x+y) -sec (x+y) =x+C.`
Discussion
727.

हल कीजिए `(dy)/(dx) =cos (x+y)`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है-
`(dy)/(dx)=cos (x+y)" "...(1)`
माना `x+y=v" "...(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1+(dy)/(dx)=(dc)/(dx)`
`implies (dy)/(dx) =(dv)/(dx)-1" "...(3)`
समी (1),(2) और (3) से,
`implies (dv)/(dx)-1 =cos v`
`implies (dv)/(dx) =1+cos v`
`implies (dv)/(dx) =2 cos ^(2) v/2,`
`[because cos 2 theta =2 cos ^(2) theta -1]`
`1/2 (1)/(cos ^(2)""v/2)dv =intdx`
`implies1/2 int sec ^(2)"" v/2 dv= x+C`
`implies tan ""(v)/(2) =x+C`
`implies tan ((x+y))/(2) =x+C.`
Discussion
728.

हल कीजिए- `(dy)/(dx) +1= e^(x+y).`

Answer» विद्यार्थी `x+y=vimplies 1+(dy)/(dx)=(dv)/(dx)` रखकर उपरोक्तानुसार हल करे . `[e^(-(x+y))+x+C=0].`
Discussion
729.

हल कीजिए- `(dy)/(dx) =1+e^(x-y).`

Answer» दिया गया है-
`(dy)/(dx) =1+e^(x-y)" "...(1)`
माना `x-y =v" "...(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1-(dy)/(dx) =(dv)/(dx)" "...(3)`
समी (1), (2) और (3) से,
`1-(dv)/(dx) =1+e^(y)`
`implies-(dv)/(dx)=e^(v)`
`implies-(dv)/(e^(v))=dx`
`implies-e^(-v) dv=dx`
समाकलन करने पर, `-int e^(-v)dv =int dx`
`impliese^(-v)=x+C`
`implies e^(y-x) =x+C.`
Discussion
730.

हल कीजिए `(dy)/(dx) =(4x + y+1)^(2).`

Answer» यहाँ `(dy)/(dx)=(4x+y+1) ^(2)" "...(1)`
माना ` 4x+y+1 =v" "...(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`4+(dy)/(dx)=(dv)/(dx)`
`implies(dy)/(dx) =(dv)/(dx) -4" "...(3)`
समी (1),(2) और (3)से,
`(dv)/(dx)=v^(2) `
`implies (dv)/(dx) =v^(2) +4`
`implies (1)/(v^(2) +4)dv= dx`
समाकलन करने पर,
`int (1)/(v^(2)+2^(2))dv=int dx`
`int (1)/(v^(2) +2^(2))dc =int dx`
`implies 1/2 tna ^(-1) ((v)/(2)) =x+C`
`implies1/2 tan^(-1)((4x+y+1)/(2))=x+C.`
Discussion
731.

हल कीजिए `(x+y) ^(2)(dy)/(dx) =a^(2)`

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है. `(x+y) ^(2)(dy)/(dx)=a^(2)`
`implies(dy)/(dx)= (a^(2))/((a+y)^(2))" "...(1)`
माना `x+y =v" "...(2)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1+(dy)/(dx)=(dv)/(dx)`
`implies(dy)/(dx) =(dv)/(dx)-1" "...(3)`
समी (1 ) (2 ) और (3 ) से,
`(dv)/(dx)-1(a^(2))/(v^(2))`
`implies(dv)/(dx)=(a^(2))/(v^(2))+1`
`implies (dv)/(dx) =(a^(2)+v^(2))/(v^(2))`
`implies (v^(2))/(a^(2)+v^(2)) dv =dx,` (चरो के पृथक्करण से)
समाकलन करने पर,
`int (v^(2))/(a^(2)+ v^(2))dv=int dx `
`impliesint ((a^(2) +v^(2))-a^(2))/(a^(2)+v^(2))dv = intdx`
`implies int (1-(a^(2))/(a^(2)+ v^(2)))dv = x+C`
`implies int 1 dv -a^(2) int (1)/(a^(2)+v^(2))dv= x+C`
`impliesv -a^(2) xx1/a tan ^(-1) ((v)/(a))=x+C`
`implies v- tan^(-1) ((v)/(a))=x+C`
`implies y-a tan ^(-1) ((x+y)/(a))=C.`
Discussion
732.

किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि `5 %` वार्षिक व्याज की डॉ से होती है . कितने वर्षो में रु 1000 की राशि दुगनी हो जायेगी. `(log 2=0.6931)`

Answer» माना किसी समय t पर मूलधन P है तब प्रश्नानुसार,
`(dP)/(0dt)=P` का `5%`
`implies(dP)/(dt)=(5P)/(100)`
`implies(dP)/(dt)=(5P)/(100)`
`implies(dP)/(P)=(1)/(20)dt`
समाकलन करने पर,
`int(dP)/(P)=int (1)/(20)dt`
` implieslog P =1/20t+log C`
`implies log P-log C=1/20t`
`implieslog ""(p)/(C)=1/20t`
`implies P/C =e^(t//20)" "...(1)`
दिया है `:P =1000 ` जब `t =0 ` सेमी (1 ) में `P =1000 ` और `t =0 ` रखने पर,
`(1000)/(C)=e^(0)impliesC=1000`
सेमी (1 ) में, `C =1000 `रखने पर,
`P=1000e^(t//20)`
माना t वर्षो में मूलधन दुगुना हो जाता है.
`2000=1000e^(t//20)`
`implies e^(t//20)=2`
`implies (t)/(20)=log 2`
`implies t=20xxlog 2=20 xx0.6931`
`=13.86` वर्ष
अतः मूलधन `13.85` वर्ष में दुगना होगा |
Discussion
733.

किसी बैंक में मूलधन कि वृद्धि `5 %` वार्षिक कि दर स होती है । इस बैंक में रु 1000 जमा कराये जाते है । ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि हो जायेगी ? `(e ^(0.5)=1.648).`

Answer» Correct Answer - रु 1648
Discussion
734.

`(dy)/(dx)+2ytanx=sinx,y=0` यदि `x=(pi)/(3)`

Answer» `(dy)/(dx)+2ytanx=sinx`
यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ, P = 2 tan x, Q = sin x
`therefore I.F. =e^(intPdx)=e^(int2tanxdx)`
`=e^(2logsecx)`
`=e^(log(sec^(2)x))`
`= sec^(2)x`
और व्यापक हल :
`ysec^(2)x=intsinxsec^(2)xdx+c`
`=inttanxsecxdx+c`
`implies ysec^(2)x=secx+c" ....(1)"`
दिया है कि `x = (pi)/(3)` पर y = 0
`therefore 0 = sec.(pi)/(3)+c`
`implies 0 = 2 + c`
implies c = - 2
`therefore` समीकरण (1) से,
`ysec^(2)x=secx-2`
`impliesy=cosx-2cos^(2)x`
Discussion
735.

किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक Rs. 1000 में जमा कराए जाते है। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? `(e^(0.5)=1.648)`

Answer» माना मूलधन तथा समय क्रमशः P तथा t है।
तथा प्रश्नानुसार, `(dp)/(dt)=P` का `5% implies (dp)/(dt)=(5)/(100)P`
`implies (dp)/(P)=(1)/(20)dt`
`implies int(dp)/(P)=int(1)/(20)dtimplies log|P|=(1)/(20)t+C" ....(1)"`
प्रारम्भ में जब, t = 0, `P = 1000 " ....(2)"`
`therefore log 1000 = 0 + c implies log 1000`
C का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`log|P|=(1)/(20)t+log1000`
`implies log|((P)/(1000))|=(1)/(20)t`
जब t = 10, तो `log.|(P)/(1000)|=(1)/(20)xx10=(1)/(2)`
`implies (p)/(1000)=e^(1//2)`
`implies (P)/(1000)=e^(0.5)=1.648`
`implies P = 1000xx1.648 implies P = 1648`
अतः 10 वर्षो के बाद धन Rs.1648 होगा।
Discussion
736.

हल कीजिए - ` x ^2 y dx - ( x ^ 3 + y^ 3 ) dy = 0 `

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है -
` x ^ 2 y dx - ( x ^ 3 + y^ 3 ) dy = 0 `
` rArr ( x ^ 3 + y ^ 3 ) dy = x ^ 2 y dx `
` rArr ( d y ) / ( dx ) = ( x ^ 2 y ) /( x ^ 3 + y^ 3 ) " " `...(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है |
माना ` y = vx ` तब ` (dy ) / ( dx ) = v + x ( dv ) / (dx ) " " `... ( 2 )
समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x (dv ) /( dx ) = ( x ^ 3 v ) /( x^ 3 + v ^3 x ^ 3 ) `
` rArr v + x (dv ) /( dx ) = ( v ) / ( 1 + v ^ 3 ) `
` rArr x (dv ) / (dx ) = ( v ) /( 1 + v ^ 3 ) - v `
` rArr x (dv ) /( dx ) = ( v - v - v ^ 4 ) /( 1 + v ^ 3 ) `
` rArr x ( dv )/ (dx ) = - (v ^ 4 ) /( 1 + v ^ 3 ) `
` rArr ( 1 + v ^ 3 ) /( v ^ 4 ) dv = - (dx ) /(x ) `, (चरों के पृथक्करण से )
समाकलन करने पर,
` int ( 1 + v ^3 ) /( v ^ 4 ) dv = - int (dx ) / ( x ) `
` rArr int ( ( 1 ) / ( v ^ 4 ) + ( 1 ) / ( v ) ) dv = - int ( dx ) / (x ) `
` rArr - ( 1 ) / ( 3v ^ 3 ) + log |v| = - log |x| + C `
` rArr - ( x ^ 3 ) /( 3 y ^ 3 ) + log | ( y ) /( x ) | = - log |x| + C `, [माना `y = (y ) / ( x ) ]`
` rArr - ( x ^ 3 ) /( 3y ^ 3 ) + log | y | - log| x| = - log |x| + C `
` rArr - ( x ^ 3 ) / ( 3y ^ 3 ) + log |y| = C `
Discussion
737.

`(1+x^(2))(dy)/(dx)+2xy=(1)/(1+x^(2)),y=0` यदि x = 1

Answer» `(1+x^(2))(dy)/(dx)+2xy=(1)/(1+x^(2))`
`implies (dy)/(dx)+(2x)/(1+x^(2))y=(1)/((1+x^(2))^(2))`
यहाँ, `P=(2x)/(1+x^(2))` तथा `Q=(1)/((1+x^(2))^(2))`
`I.F.=e^(intPdx)=e^(int(2x)/(1+x^(2))dx)`
`therefore =e^(log(1+x^(2)))=(1+x^(2))`
Discussion
738.

अवकल समीकरण - ` x ( dy ) / (dx ) - y + x cosec (( y ) / ( x ) ) = 0 ` या ` (dy ) / ( dx ) - ( y ) / ( x ) + cosec ( ( y )/ ( x )) = 0 ` दिया गया है ` y = 0 ` यदि ` x = 1 ` का हल ज्ञात कीजिये |

Answer» दिया गया अवकल समीकरण है -
` ( dy ) / ( dx ) - ( y ) / ( x ) + cosec (( y ) / ( x )) = 0 `
` rArr (dy ) /( dx ) = ( y ) / ( x ) - cosec ((y)/ (x)) " "`...(1)
माना ` F (x, y ) = ( y ) / ( x ) - cosec (( y ) / ( x )) `
x को ` lamda x ` और y को ` lamda y ` से प्रतिस्थापित करने पर,
` F ( lamda x, lamda y ) = ( lamda y ) / ( lamda x ) - cosec ( ( lamda y ) / ( lamda x ) ) `
` rArr F ( lamda x , lamda y ) = lamda ^ 0 [ ( y ) / (x) - cosec ( ( y ) / (x))] = lamda ^0 F ( x, y ) `
अतः फलां ` F ( x, y ) ` समघात है इसलिए यह एक समघात अवकल समीकरण है |
माना ` y = vx ` तब ` (dy ) / ( dx ) = v + x (dv )/ (dx ) " " `...(2)
समी. (1 ) और (2 ) से,
` v + x ( dv ) / ( dx ) = ( vx ) / ( x ) - cosec ((vx )/ ( x ))`
` rArr v + x ( dv )/ (dx ) = v - cosec v `
` rArr x (dv ) / (dx ) = - cosec v `
` rArr - (dv ) / ( cosec v ) = (dx ) / ( x ) " " ` (चरों कर पृथक्करण से )
`rArr - sin vdv = (dx ) / ( x ) `
समाकलन करने पर,
` int - sin v dv = int (dx ) / (x ) `
` rArr cos v = log |x| + C `
` rArr cos ((y) / ( x )) = log |x| + C " " `...(3)
समी. (3 ) में, x = 1 और y = 0 रखने पर,
` cos 0 = log 1 + C rArr C = 1 `
समी. (3 ) में, C =1 रखने पर
` cos (( y ) / ( x ) ) = log |x| + 1 `
` rArr cos (( y ) / (x)) = log |x| + log e `
` rArr cos ((y) / ( x )) = log |ex | ` .
Discussion
739.

`(dy)/(dx)-(y)/(x)+cosec((y)/(x))=0 , y = 0` यदि x = 1

Answer» `(dy)/(dx)=(y)/(x)-(1)/(sin.(y)/(x))`
`implies v+x(dv)/(dx)=v-(1)/(sin v)`
माना `y = v x implies (dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)`
`implies x(dv)/(dx)=-(1)/(sinv)`
`implies -sinv dv = (dx)/(x)`
`implies -intsin v dv=int(dx)/(x)+c`
`implies cos v= log x+c`
`implies cos v=logx+c`
`implies cos.(y)/(x)=logx+c`
दिया है x = 1 पर y = 0
`therefore cos 0 = log 1 + c implies c = 1`
अतः `cos.(y)/(x)=logx+1`
Discussion
740.

`x^(2)dy+(xy+y^(2))dx=0 , y=1` यदि x = 1

Answer» `x^(2)dy+(xy+y^(2))dx=0`
`implies (dy)/(dx)+(xy+y^(2))/(x^(2))=0 " ...(1)"`
माना y = vx
`implies (dy)/(dx)=v+(xdv)/(dx)`
समीकरण (1) से,
`v+x(dv)/(dx)+(vx^(2)+v^(2)x^(2))/(x^(2))=0`
`implies x(dv)/(dx)+2v+v^(2)=0`
`implies x(dv)/(dx)=-v(v+2)`
`implies (dv)/(v(v+2))=-(dx)/(x)`
`implies int(2)/(v(v+2))dv=-int(2)/(x)dx`
`implies int((1)/(v)-(1)/(v+2))dv=-int(2)/(x)dx`
`implies logv-log(v+2)=-2logx+logc`
`implies log.(v)/(v+2)=log.(c)/(x^(2))`
`implies (v)/(v+2)=(c)/(x^(2))`
`implies (y//x)/((y)/(x)+2)=(c)/(x^(2))`
`implies (y)/(2x+y)=(c)/(x^(2))`
`implies x^(2)y=c(2x+y)`
दिया है x = 1 पर y = 1
`therefore 1 = c(2+1)`
`implies c=(1)/(3)`
अतः `x^(2)y=(1)/(3)(2x+y)`
`implies 3x^(2)y=2x+y`
Discussion
741.

`(x+y)dy+(x-y)dx=0 , y=1` यदि x = 1

Answer» दिया है, `(x+y)dy+(x-y)dx=0`
`implies (dy)/(dx)=(y-x)/(x+y)" …(1)"`
दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
माना y = vx
`implies (dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)`
implies समीकरण (2) से, `v+x(dv)/(dx)=(vx-x)/(x+vx)`
`impliesv+x(dv)/(dx)=(x(v-1))/(x(1+v))impliesv+x(dv)/(dx)=(v-1)/(1+v)`
`impliesx(dv)/(dx)=(v-1)/(1+v)-v`
`implies x(dv)/(dx)=(v-1-v-v^(2))/(1+v)`
`implies -x(dv)/(dx)=(1+v^(2))/(1+v)=((v+1))/(1+v^(2))dv=-(1)/(x)dx`
समाकलन करने पर,
`int((v+1))/(1+v^(2))dv=-int(dx)/(x)`
`impliesint(v)/(1+v^(2))dv+int(1)/(1+v^(2))dv=-int(dx)/(x)`
`implies (1)/(2)log|v^(2)+1|+tan^(-1)v+log|x|=C`
`implies (1)/(2)log((y^(2)+x^(2))/(x^(2)))+log|x|+tan^(-1)((y)/(x))=C`
`implies log((y^(2)+x^(2))/(x^(2)))+2log|x|+2tan^(-1)((y)/(x))=2C`
`implies log((y^(2)+x^(2))/(x^(2)))+logx^(2)+2tan^(-1)((y)/(x))=2C`
`implieslog.((y^(2)+x^(2))x^(2))/(x^(2))+2tan^(-1)((y)/(x))=2C`
`implies log(x^(2)+y^(2))+2tan^(-1)((y)/(x))=A" " (2C = A " रखने पर")" ....(2)"`
दिया है, `x = 1, y = 1`
`log2+(2xx(pi)/(4))=A`
`implies A=(pi)/(2)+log2`
समीकरण (2) में A का मान रखने पर,
`log(x^(2)+y^(2))+2tan^(-1)((y)/(x))=(pi)/(2)+log2`
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
Discussion
742.

`(1+e^(x//y))dx+e^(x//y)(1-(x)/(y))dy=0`

Answer» `(1+e^(x//y))dx+e^(x//y)(1-(x)/(y))dy=0`
`implies (1+e^(x//y))dx=-e^(x//y)(1-(x)/(y))dy`
`implies (dx)/(dy)=(-e^(x//y)(1-(x)/(y)))/(1+e^(x//y))" ....(1)"`
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना x = vy
`implies (dx)/(dy)=v+y.(dv)/(dy)`
समीकरण (1) में रखने पर,
`v+y.(dv)/(dy)=(-e^(v)(1-v))/(1+e^(v))`
`implies y(dv)/(dy)=(-e^(v)+ve^(v))/(1+e^(v))-v`
`implies y.(dv)/(dy)=(-e^(v)+ve^(v)-v-ve^(v))/(1+e^(v))`
`=(-(e^(v)+v))/(1+e^(v))`
`implies (1+e^(v))/(v+e^(v))dv=-(dy)/(y)`
`implies int(1+e^(v))/(v+e^(v))dv=-int(dy)/(y)`
`implies log(v+e^(v))=-logy+logc`
`implies log(v+e^(v))+logy=logc`
`implies log(vy+ye^(v))=logc`
`implies vy+ye^(v)=c`
`implies x+y.e^(x//y)=c`
Discussion
743.

`(dy)/(dx)+y=1(y ne 1)`

Answer» दिया है, `(dy)/(dx)+y=1 implies (dy)/(dx)=1-y`
`implies dx=(dy)/(1-y)`
समाकलन करने पर, `int(dy)/((1-y))=int dx`
`implies-log|1-y|=x-C implies -x+C=log|1-y|`
`implies |1-y|=e^(-x+C)(because log_(e)x=mimpliese^(m)=x)`
`implies y-1= (pm e^(C ))e^(-x)`
`implies y=1+Ae^(-x)" "("जहाँ", A=pme^(c))`
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट व्यापक हल है।
Discussion
744.

`(dy)/(dx)=sqrt(4-y^(2))(-2ltylt2)`

Answer» `(dy)/(dx)=sqrt(4-y^(2))" "implies (dy)/(sqrt(4-y^(2)))=dx`
`implies sin^(-1).(y)/(2)=x+c implies (y)/(2)=sin(x+c)`
`implies y = 2 sin (x+c)`
Discussion
745.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(x+y +1)(dy)/(dx)=1 `

Answer» Correct Answer - `x+y+2= Ce^(x)`
Discussion
746.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) +y=cos x`

Answer» Correct Answer - `y=Ce^(-x) +1/2 (cos x + sin x)`
Discussion
747.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)=y tan x-2 sin x`

Answer» Correct Answer - `2 y cos x=cos 2x+C`
Discussion
748.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `xdy=(2y +2x^(4)+x^(2))dx`

Answer» Correct Answer - `y=x^(4) +x^(2) log x + Cx^(2)`
Discussion
749.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx) +y tan x=cos x`

Answer» Correct Answer - `y sec x=x^(2)sin x+2 x cos x-2 sin x+C`
Discussion
750.

अवकल समीकरण को हल कीजिए- `(dy)/(dx)+y tan x=cos x`

Answer» Correct Answer - `y sec x=x +C`
Discussion