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माना समान्तर श्रेणी 100, 90, 80…. का n वाँ पद शून्य है।

तब, a = 100, d = 90 – 100 = – 10

अतः a_n = a + (n – 1)d

0 = 100 + (n – 1) × – 10

⇒ 0 = 100 – 10n + 10

⇒ 10n = 110

⇒ n = 110/10

⇒ n = 11

अतः श्रेणी का 11 वाँ पद शून्य होगा।

माना समान्तर श्रेणी 72, 63, 54,….. का n वाँ पद शून्य है।

अतः a_n = a + (n – 1)d सूत्र से

दिया है a_n = 0, a = 72, d = – 9

0 = 72 + (n – 1) × – 9

⇒ 0 = 72 – 9n + 9

⇒ 9n = 81

⇒ n = 9

अतः श्रेणी का 9 वाँ पद शून्य है।

दी गयी श्रेणी, 

3, 15, 27, 39,…

माना इस श्रेणी का nवाँ पद 21वें पद से 120 अधिक है। अतः

a_n – a₂₁ = 120

⇒ [a + (n – 1)d] – [a + 20d] = 120

⇒ a + nd – d – a – 20d = 120

⇒ nd – 21d = 120

⇒ (n – 21)d = 120

⇒ (n – 21) × 12 = 120 (∵ d = 12)

⇒ n – 21 = 10

⇒ n = 10 + 21

⇒ n = 31

दी गई श्रेणी 

63, 65, 67….

अतः a_n = a + (n – 1)d

a_n = 63 + (n – 1)2

a_n = 63 + 2n – 2

a_n = 61 + 2n …(1)

पुनः श्रेणी 3, 10, 17, ….

अतः a_n = 3 + (n – 1)7

⇒ a_n = 3 + 7n – 7

⇒ a_n = 7n – 4 …(2)

दिया है! दोनों श्रेणीयों में n वें पद बराबर है।

अतः 61 + 2n = 7n – 4

⇒ 5n = 65

⇒ n = 13

दिया है, 

a₂₅ – a₁₂ = – 52

⇒ a + 24d – a – 11d = –52

⇒ 24d – 11d = -52

⇒ 13d = -52

⇒ d = – 4

दी गयी समान्तर श्रेणी 2x + 1, 13, 5x – 3

∵ श्रेणी समान्तर है 

अतः 13 – (2x + 1) = 5x – 3 – 13 

⇒ 13 – 2x – 1 = 5x – 16

⇒ 12 – 2x = 5x – 16

⇒ 28 = 7x

⇒ x = 4

माना इस समान्तर श्रेणी का n वाँ पद 81 है।

अतः दी गई श्रेणी 5, 9, 13, 17, …

यहाँ a = 5, d = 4, a_n = 81

अतः सूत्र से,

a_n = a + (n – 1)d

⇒ 81 = 5 + (n – 1)4

⇒ 81 = 5 + 4n – 4

⇒ 81 = 4n + 1

⇒ 81 – 1 = 4n

⇒ 80 = 4n

⇒ n = 20 वाँ पद

a + b, a – b, a – 3b,…. 22 पदों की संख्या

a = a + b, d = a – b – a – b = – 2b, n = 22

S_n = n/2[2a + (n – 1)d] = 22/2 [2(a + b) + (22 – 1) × – 2b]

S₂₂ = 11[2a + 2b – 42b]

= 11[2a – 40b]

S₂₂ = (22a – 440b)

5 + 9 + 13 + …. + 81 का योग

a = 5, d = 9 – 5 = 4,1 = 81, n = ? तथा S_n = ?

तब l = a + (n – 1)d या 81 = 5 + (n – 1) × 4

81 = 5 + 4n – 4 या 81 = 1 + 4n

81 – 1 = 4n या 4n = 80 या n = 80/4 = 20

S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

S₂₀ = 20/2[2 × 5 + (20 – 1)4]

तथा S₂₀ = 10[10 + 19 × 4]

= 10[10 + 76] = 10 × 86 = 860

माना, 7, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, A₈, A₉, 37

तब a = 7, l = 37 तथा पदों की संख्या = 11

l = a + (n – 1)d से

37 = 7 + (11 – 1)d

37 – 7 = 10d

या 10d = 30, d = 30/10 = 3

A₁ = a + d = 7 + 3 = 10,

A₂ = a + 2d = 7 + 6 = 13

A₃ = a + 3d = 7 + 9 = 16,

इसी प्रकार A₄ = 19, A₅ = 22, A₆ = 25

A₇ = 28, A₈ = 31, A₉ = 34

अतः 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34

∵ संख्याये a, b व c समान्तर श्रेणी में है।

∴ 2b = a + c

प्रश्नानुसार, 

a व b का समान्तर माध्य = p

a+b/2 = P

या a + b = 2p …(1)

तथा b व c का समान्तर माध्य = q

b+c/2 = q

या c + b = 2q …(2)

समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर

a + 2b + c = 2p + 2q

a + c + 2b = 2(p + q)

∵ a + c = 2b

तो 2b + 2b = 2(p + q)

4b/2 = p + q

2b = p + q

p+q/2 = b

अतः इससे स्पष्ट है कि p व १ का समान्तर माध्य b है।

यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।

तब 2b = a + c

b + c, c + a, a + b भी समान्तर श्रेणी में हैं।

2(c + a) = b + c + a + b

2c + 2a – c – a = 2b

2b = a + c

अतः इससे स्पष्ट हैं कि b + c, c + a, a + b भी समान्तर श्रेणी हैं।

समान्तर श्रेणी 213, 205, 197, …,37

अतः यहाँ a = 213, d = – 8

अतः श्रेणी में पदों की संख्या a_n = a + (n – 1)d

⇒ 37 = 213 + (n – 1) x – 8

⇒ 37 = 213 – 8n + 8

⇒ 8n = 221 – 37

⇒ 8n = 184

⇒ n = 184/8 ⇒ n = 23

चूँकि पदों की संख्या n = 23 विषम है।

अतः मध्य पद = \(\frac{n+1}{2}=\frac{23+1}{2}=\frac{24}{2}\) = 2

अतः a₁₂ = a + 11d

= 213 + 11 × – 8

= 213 – 88 = 125

अतः a₁₂ = a + 11d

= 213 + 11 × – 8

= 213 – 88 = 125

1, 3, 5, 7,…. 12 पदों तक योग ।

a = 1, d = 3 – 1 = 2, n = 12

तथा S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

S₁₂ = 12/2[2 × 1 + (12 – 1) × 2]

= 6[2 + 11 × 2] = 6[2 + 22]

= 6 × 24 = 144

संख्या 5 व 7 का 

स०मा० = \(\frac{5+7}{2}=\frac{12}{6}=6\) 

प्रथम 100 सम प्राकृतिक संख्यायें जो 5 से विभाज्य है।

10, 20, 30…..

a = 10, d = 20 – 10, n = 100

S_n = n/2[2a + (n – 1)d]= 100/2 [2 × 10 + (100 – 1) × 10]

S₁₀₀ = 50[20 + 99 × 10] = 50[20 + 990] = 50 × 1010 = 50500

∵ a², b², c² समान्तर श्रेणी में हैं।

∴ प्रत्येक पद में (ab + bc + ca) जोड़ने पर

(a² + ab + bc + ca), (b² + ab + bc + ca), (c² + ab + bc + ca)

(a + b)(c + a), (a + b)(b + c), (c + a)(b + c) समान्तर श्रेणी में हैं।

प्रत्येक पद में (a + b)(b + c)(c + a) से भाग देने पर

\(\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\) समान्तर श्रेणी में हैं।

यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।

तब 2b = a + c

∵ a²(b + c), b²(c + a), c²(a + b) समान्तर श्रेणी में हैं।

प्रत्येक पद में abc जोड़ने पर

a²(b + c) + abc, b²(c + a) + abc, c²(a + b) + abc भी

समान्तर श्रेणी में हैं।

a(ab + ac + bc), b(bc + ab + ac), c(ca + bc + ab) समान्तर श्रेणी में हैं।

2 × b(ab + bc + ac) = (a + c)(ab + bc + ca)

(2b – a – c)(ab + bc + ab) = 0

ab + bc + ac = 0

1 तथा 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें

2, 3, 4, 5, 6,……99

तब a = 2, d = 3 – 2 = 1 तथा l = 99

l = a + (n – 1)d या 99 = 2 + (n – 1) × 1 या 99 = 2 + n – l

99 = n + 1 या n = 99 – 1 = 98

तथा, 1 और 100 के बीच सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग

S_n = n/2 [2a + (n – 1)d]

= 98/2[2 × 2 + (98 – 1) × 1]

= 49[4 + 97] = 49 × 101 = 4949

अब वें संख्यायें, जो 5 से विभाज्य है। उनका योग :

5, 10, 15,…..95

a = 5, d = 10 – 5 = 5 तथा l = 95

तब l = a + (n – 1)d

या 95 = 5 + (n – 1) × 5 या 95 = 5 + 5n – 5

95 = 5n या n = 95/5 = 19

तथा S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

= 19/2[2 × 5 + (19 – 1) × 5]

= 19/2 [10+ 18 × 5] = 19/2[10 + 90]

= 19/2 × 100 = 19 × 50 = 950

अतः 1 तथा 100 के बीच उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग जो 5 से विभाज्य नहीं हैं

= 4949 – 950 = 3999

100 तथा 800 के बीच सभी प्राकृतिक संख्यायें, जो 7 से विभाज्य हैं :

105, 112, 119,……798

a = 105, d = 112 – 105 = 7 तथा l = 798

तब, l = a + (n – 1)d या 798 = 105 + (n – 1) × 7

798 = 105 + 7n – 7 या 798 = 7n + 98

798 – 98 = 7n या 7n = 700 या n = 700/7 = 100

S_n = n/2 [2a + (n – 1)d]

= 100/2[2 × 105 + (100 – 1) × 7]

S₁₀₀ = 50[210 + 99 × 7]

= 50[210 + 693] = 50 × 903 = 45150

दिया है 

a_n = 2n – 1

अतः a₇ = 2 x 7 – 1

⇒ a₇ = 14 – 1

⇒ a₇ = 13

प्रथम 200 प्राकृतिक संख्यायें : 1, 2, 3, 4,…. 200

a = 1, d = 2 – 1 = 1, n = 200

S_n = n/2 [2a + (n – 1)d]

S₁₀₀ = 200/2 [2 × 1 + (200 – 1) × 1]

= 100[2 + 199]

= 100 × 201

= 20100

समान्तर श्रेणी 5, 8, 11, 14… के प्रथम 24 पदों का योग

यहाँ, a = 5, d = 8 – 5 = 3, n = 24

S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

S₂₄ = [2 × 5 + (24 – 1) × 3]

= 12[10 + 23 × 3] = 12[10 + 69]

= 12 × 79 = 948

श्रेणी 18, 16, 14….

माना श्रेणी के n पदों का योग शून्य है।

अर्थात् S_n = 0 तथा a = 18, d = 16 – 18 = – 2

n/2[2a + (n – 1)d] = 0

n/2[2 × 18 + (n – 1) × – 2] = 0

n[36 – 2n + 2] = 0

36 – 2n + 2 = 0

38 = 2n या n = 38/2 = 19

अत : n = 19

समान्तर श्रेणी 25, 22, 19….

a = 25, d = 22 – 25 = – 3

माना श्रेणी के n पदों का योग = 116

तब n/2[2a + (n – 1)d] = 116

n[2 × 25 + (n – 1) × – 3] = 232

n[50 – 3n + 3] = 232

n[53 – 3n] = 232

53n – 3n² = 232

-3n² + 53n – 232 = 0

3n² – 53n + 232 = 0

3n² – 29n – 24n + 232 = 0

n(3n – 29) – 8(3n – 29) = 0

(3n – 29)(n – 8) = 0

3n – 29 = 0 तथा n – 8 = 0

n = 29/3 (अमान्य) n = 8

तथा l = a + (n – 1)d

l = 25 + (8 – 1) × – 3 = 25 – 7 × 3

l = 25 – 21 = 4

अतः अन्तिम पद l = 4 तथा पदों की संख्या = 8

2 + 5 + 8 + 11 + …. + x = 345

a = 2,d = 5 – 2 = 3 तथा l = x

माना श्रेणी में पदों की संख्या = n

तब l = a + (n – 1)d

x = 2 + (n – 1) × 3

x = 2 + 3n – 3

x = 3n – 1 या x + 1 = 3n या n = x+1/3

तथा S_n = 345

n/2(a + l) = 345

(x+1/6)(2 + x ) = 345

2x + x² + 2 + x = 345 × 6

x² + 3x + 2 = 2070

x² + 3x + 2 – 2070 = 0

x² + 3x – 2068 = 0

x² + 47x – 44x – 2068 = 0

x(x + 47) – 44(x + 47) = 0

(x + 47)(x – 44) = 0

x + 47 = 0 तथा x – 44 = 0

x = – 47 (अमान्य), x = 44

x = 44

5 से विभाजित दो अंकों की सभी  संख्यायें :

10, 15, 20,……..95

a = 10, d = 15 – 10 = 5 तथा l = 95

तब l = a + (n – 1)d या 95 = 10 + (n – 1) × 5

95 = 10 + 5n – 5 या 95 = 5n + 5

95 – 5 = 5n या 5n = 90 या n = 90/5 = 18

तथा S_n = n/2[2a + (n – 1)d] = 18/2[2 × 10 + (18 – 1) × 5]

S₁₈ = 9[20 + 17 × 5]

= 9[20 + 85]

= 9 × 105 = 945

माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।

प्रश्नानुसार, 

दिया है S_q = 63q – 3q²

तथा q = q – 1 रखने पर

S_q-1 = 63(q – 1) – 3(q – 1)²

= 63(q – 1) – 3(q² + 1 – 2q)

S_q-1 = 63q – 63 – 3q² – 3 + 6q

= – 3q² + 69q – 66

अतः श्रेणी का q वाँ पद T_q = S_q – S_q-1

T_q = (63q – 3q²) – (- 3q² + 69q – 66)

= 63q – 3q² + 3q² – 69q + 66

T_q = – 6q + 66

q = 1, 2, 3…. रखने पर

T₁ = – 6 × 1 + 66 = – 6 + 66 = 60

T₂ = – 6 × 2 + 66 = – 12 + 66 = 54

T₃ = – 6 × 3 + 66 = – 18 + 66 = 48

तब समान्तर श्रेणी 60, 54, 48….

a = 60,d = 54 – 60 = – 6

अतः श्रेणी का P वाँ पद = – 60

a + (P – 1)d = – 60

60 + (P – 1) × – 6 = – 60

60 – 6p + 6 = – 60

66 – 6p = – 60

या 66 + 60 = 6p

126 = 6p या p = 126/6 = 21 

तथा श्रेणी का 11 वाँ पद = a + 10d

= 60 + 10 × – 6 = 60 – 60 = 0

अतः P = 21 तथा श्रेणी का 11 वाँ पद = 0

1 से 100 तक सभी प्राकृतिक संख्याओं से बनी समान्तर श्रेणी 1, 2, 3, 4…..100

प्रथम पद a = 1, सार्वअन्तर d = 2 – 1 = 1 तथा n = 100

S_n = n/2 [2a + (n – 1)d]

S₁₀₀ = 100/2 [2 × 1 + (100 – 1) × 1]

= 50[2 + 99] = 50 × 101

= 5050

श्रेणी, 4,7 , 10, ….,148

माना श्रेणी में पदों की संख्या n है।

अतः a_n = a + (n – 1)d

⇒ 148 = 4 + (n – 1)3

⇒ 148 = 4 + 3n – 3

⇒ 148 =3n + 1

⇒ 3n = 147

⇒ n = 49

श्रेणी 15 + 11 + 7 ……

a = 15, d = 11 – 15 = – 4

माना श्रेणी के n पदों का योग = 35

n/2[2a + (n – 1)d] = 35

n[2 × 15 + (n – 1) × – 4] = 35 × 2

n[30 – 4n + 4] = 70

n[34 – 4n] = 70

34n – 4n² – 70 = 0

-4n² + 34n – 70 = 0

– 2[2n² – 17n + 35] = 0

2n² – 17n + 35 = 0

2n² – 10n – 7n + 35 = 0

2n(n – 5) – 7(n – 5) = 0

(n – 5)(2n – 7) = 0

n – 5 = 0 तथा 2n – 7 = 0

n = 5, n = 7/2 (अमान्य)

अतः n – 5

हम जानते हैं कि 

108 तथा 999 क्रमशः सबसे छोटी तथा बड़ी संख्याएँ हैं जोकि 9 से विभाजित हैं 

अतः श्रेणी 108, 117, 124,…999 होगी।

अत: a = 108, d = 9 तथा l = 999

a_n = 108 + (n – 1) × 9

⇒ 999 = 108 + 9n – 9

⇒ 999 – 108 = 9n – 9

⇒ 9n – 9 =891

⇒ 9n = 891 + 9

⇒ 9n = 900

⇒ n = 900/9

⇒ n = 100

अतः पदों की संख्या = 100

माना श्रेणी का n वाँ पद 88 है। तब,

a_n = a + (n – 1)d

⇒ 88 = – 7 + (n – 1) x 5 [∵ a = -7 तथा d = 5]

⇒ 88 = – 7 + 5n – 5

⇒ 5n – 12 = 88

⇒ 5n = 88 + 12

⇒ 5n = 100

⇒ n = 100/5

⇒ n = 20

समान्तर श्रेणी – 12, – 9, – 6,…….21

a = – 12, d = (- 9) – (-12) = –9 + 12 = 3, l = 21

माना श्रेणी में पदों की संख्या’ = n

l = a + (n – 1)d

21 = – 12 + (n – 1) × 3

21 = – 12 + 3n – 3

21 = – 15 + 3n

21 + 15 = 3n

या 3n = 36

n = 36/3 = 12

∴ n = 12

यदि श्रेणी के प्रत्येक पद में 1 जोड़ दिया जाये तो श्रेणी

– 12 + 1, – 9 + 1, – 6 + 1,…….,21 + 1

– 11, – 8, – 5, ……. 22

तब a = – 11, तथा n = 22

समान्तर श्रेणी के सभी पदों का यो = n/2(a + l)

= 12/2 (-11 + 22)

= 6 × 11 = 66

अत: n = 12 तथा सभी पदों का योग = 66

दिया है, 

पहला पद = p

सार्वअन्तर d = q

अतः a₁₀ = a + 9d

⇒ a₁₀ = p + 9q

दिया है, 

a_n = n² – n + 1

n = 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर

a₁ = 1² – 1 + 1 = 1

a₂ = 2² – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3

a₃ = 3² – 3 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7

a₄ = 4² – 4 + 1= 16 – 4 + 1 = 13

a₅ = 5² – 5 + 1 = 25 – 5 + 1 = 21

अतः प्रथम पाँच पद 1, 3, 7, 13, 21

दिया है, 

a₉ = – 6 तथा d = 5/4

⇒ a + 8d = – 6

⇒ a + 8 × 5/4 = – 6

⇒ a + 10 = – 6

⇒ a = – 16

अतः a₂₅ = a + 24d

= – 16 + 24 × 5/4

= – 16 + 6 × 5 = – 16 + 30

⇒ a₂₅ = 14

समान्तर श्रेणी 

14, 9, 4, – 1, – 6….

यहाँ a = 14,d = – 5

अतः a₁₂ = a + (12 – 1)d

= a + 11d

= 14 + 11 × – 5

= 14 – 55

= – 41

दी गयी श्रेणी 4, 9, 14, 19,….

माना श्रेणी का n वाँ पद 104 है। अतः

a_n = a + (n – 1)d

⇒ 104 = 4 + (n – 1)5 [∵ a = 4 तथा d = 5]

⇒ 104= 4 + 5n – 5

⇒ 104 = 5n – 1

⇒ 5n = 105

⇒ n= 21

दिया है S_n = 4n² + 2n

तब n = (n – 1) रखने पर

S_n-1 = 4(n – 1)² + 2(n – 1)

= 4(n² + 1 – 2n) + 2n – 2

= 4n² + 4 – 8n + 2n – 2

= 4n² – 6n + 2

तो समान्तर श्रेणी का n वाँ पद

T_n = S_n – S_n-1 = (4n² + 2n) – (4n² – 6n + 2)

T_n = 4n² + 2n – 4n² + 6n – 2 = (8n – 2)

दिया है : 

a₂₄ = 2 × a₁₀

⇒ a + 23d = 2 × (a + 9d)

⇒ a + 23d = 2a + 18d

⇒ a = 5d ….(1)

अतः a₇₂ = a + 71d

a₇₂ = 5d + 71d [समीकरण (1) से a = 5d रखने पर]

⇒ a₇₂ = 76d

= 4 × 19d …(2)

पुनः a₁₅ = a + 14d

⇒ a₁₅ = 5d + 14d

⇒ a₁₅ = 19d …(3)

⇒ समीकरण (2) तथा (3) से

a₇₂ = 4 × a₁₅ यही सिद्ध करना था।

समान्तर श्रेणी का पहला पद a = 22

प्रश्नानुसार, 

n वाँ पद = – 11

a + (n – 1)d = – 11

22 + nd – d = – 11

nd – d = – 11 – 22

nd – d= – 33 …(1)

तथा प्रथम n पदों का योग = 66

n/6[2a + (n – 1)d] = 66

n[2 × 22 + nd – d] = 132

समीकरण (1) से,

n[44 + ( – 33)] = 132

n[44 – 33] = 132

11n= 132

या n = 132/11 = 12

n का मान समीकरण (1) में रखने पर, 

12d – d = – 33

या 11d = – 33

d= -33/11 = – 3

अतः n = 12, d = – 3

माना, समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर d है।

तथा पहला पद a = 7 तथा अन्तिम पद = 49

तब श्रेणी के सभी पदों का योग = 420

n/2(a + l) = 420

n(7 + 49) = 420 × 2

56n = 840

n = 840/56 = 15

तथा l = a + (n – 1)d

49 = 7 + (15 – 1)d

49 – 7 = 14d

42/14 = d या d = 3

अतः सार्वअन्तर d = 3

माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।

∵ a₅ + a₉ = 30

⇒ a + 4d + a + 8d = 30

⇒ 2a + 12d = 30

⇒ a + 6d = 15 …(1)

दिया है., a₂₅ = 3 × a₈

⇒ a + 24d = 3 × (a + 7d)

⇒ a + 24d = 3a + 21d

⇒ a = 3d/2 …(2)

समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर

3d/2 + 6d = 15

⇒ 3d + 12d = 15 × 2

⇒ 15d = 15 × 2

⇒ 15d = 30

⇒ d = 2

तथा a = 3

अतः श्रेणी 3, 5, 7, 9….

दी गयी श्रेणी 4, 9, 14, 19, ….

अतः a₂₀ = a + 19d

⇒ a₂₀ = 4 + 19 x 5

⇒ a₂₀ = 4 + 95

⇒ a₂₀ = 99

हम जानते हैं कि 

a_n = a + (n – 1)d

अतः a₁₆ = a + (16 – 1)d

a₁₆ = 6 + 15 × – 3 (यहाँ a = 6, d = – 3,)

a₁₆ = 6 – 45

= – 39

माना, S_n = 3n² + 4n

तब, n = (n – 1) रखने पर

S_n-1 = 3(n – 1) + 4(n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) + 4n – 4

S_n-1 = 3n² + 3 – 6n + 4n – 4 = 3n² – 2n – 1

समान्तर श्रेणी का n वाँ पद T_n = S_n – S_n-1 से

T_n = (3n² + 4n) – (3n² – 2n – 1)

= 3n² + 4n – 3n² + 2n – 1

T_n = (6n + 1)

अब n = 1, 2, 3….. रखने पर,

T₁ = 6 × 1 + 1 = 6 + 1 = 7

T₂ = 6 × 2 + 1 = 12 + 1 = 13

T₃ = 6 × 3 + 1 = 18 + 1 = 19

अतः श्रेणी का n वाँ पद = (6n + 1)

तथा समान्तर श्रेणी 7,13,19,

समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n = 5n² + 3n

तब, माना = 5n² + 3n तथा t_n = 168

n = (n – 1) रखने पर

S_n-1 = 5(n – 1)² + 3(n – 1) = 5(n² + 1 – 2n) + 3n – 3

S_n-1 = 5n² + 5 – 10n + 3n – 3 = 5n² – 7n + 2

तब, T_n = S_n – S_n-1

T_n = (5n² + 3n) – (5n² – 7n + 2)

T_n = 5n² + 3n – 5n² + 7n – 2

T_n = 10n – 2

168 = 10n – 2 या 168 + 2 = 10n

10n = 170 या n = 170/10

n = 17

दिया है, S_n = 3n² – n

n = n – 1 रखने पर

S_n-1 = 3(n – 1)² – (n – 1) = 3(n² + 1 – 2n) – n + 1

= 3n² + 3 – 6n – n + 1 = 3n² – 7n + 4

(i) T_n = S_n – S_n-1 = (3n² – n) – (3n² – 7n + 4)

= 3n² – n – 3n² + 7n – 4 = 6n – 4

अतः समान्तर श्रेणी का n वाँ पद = (6n – 4)

(ii) T_n = 6n – 4

n = 1, 2, 3…. रखने पर

T₁ = 6 × 1 – 4 = 6 – 4 = 2

T₂ = 6 × 2 – 4 = 12 – 4 = 8

T₃ = 6 × 3 – 4 = 18 – 4 = 14

तब, समान्तर श्रेणी 2, 8, 14..

अतः श्रेणी का पहला पद a = 2

(iii) सार्वअन्तर d = 8 – 2 = 6

समान्तर श्रेणी के p पदों का योग = ap² + bp

तब S_p = ap² + bp

S_p-1 = a(p – 1)² + b(p – 1)

S_p-1 = a(p² + 1 – 2p) + bp – b

S_p-1 = ap² – 2ap + a + bp – b

समान्तर श्रेणी का p वाँ पद = T_p

∴ T_p = S_p – S_p-1

T_p = (ap² + bp) – (ap² – 2ap + a + bp – b)

T_p = 2ap – a + b

T_p = a(2p – 1) + b

p= 1, 2, 3,… रखने पर,

T₁ = a(2 × 1 – 1) + b = a(2 – 1) + b = a + b

T₂ = a(2 × 2 – 1) + b = a(4 – 1) + b = 3a + b

T₃ = a(2 × 3 – 1) + b = a(6 – 1) + b = 5a + b

अतः समान्तर श्रेणी a + b, 3a + b, 5a + b,…

तब सार्वअन्तर d = (3a + b) – (a + b)

= 3a + b – a – b – 2a

अतः समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर = 2a